lim sup和lim inf，上极限和下极限什么意思？

2024-07-09 21:19| 来源: 网络整理| 查看: 265

1.定义

2.直观理解

理解1：

理解2：

3.例子

例1：

例2：

1.定义

$\lim_{n\rightarrow \infty}sup {A_m} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m$

$\lim_{n\rightarrow \infty}inf {A_m} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty}A_m$

简单理解就是：

lim sup是指：上极限。lim inf是指：下极限。

描述的就是各个元素在无穷远处是否出现在这个集合，如果从某一刻起这个元素一直存在，那么它自然属于 $A_{\infty}$ ，如果它从某一刻起消失了，那么自然不属于 $A_{\infty}$ ，但是如果一个元素时而出现时而消失，那么考虑sup的时候算上它，考虑inf的时候去掉它。

2.直观理解理解1：

假设一个国家有一群人失业了（这群人记为集合A），他们失业后开始在街上乞讨。政府了解这件事后开始对这些人进行救济，在固定的救济处为他们免费发放食物。假设第n天有An个失业者到救济处领取补助，那么An是A的子集（假设所有事业者都没死亡）。这些失业者可以分为以下三类：

一些失业者在失业后的某一天找到了工作，所以他们之后再也没去过救济处领取补助。一些失业者自尊心比较强，不愿意每天都靠救济生活，但是他们找不到新工作，迫于生存还是得偶尔去救济处领取补助。另一些找不到新工作的失业者没有那么强的自尊心，之后的某一天这些人开始摆烂，每天都都会到救济处领取补助。

lim inf An就是那些属于第三类的失业者，他们在某个时间点之后每天都会去领补助。

lim sup An是那些属于第二类和第三类的失业者，他们由于没找到新工作，在未来的无穷多天里都会去救济处（不一定是每天都去）。

很显然lim inf An含于lim sup An。

一个集合序列的极限存在的话，意味着上极限和下极限相等，从这个例子来说就是第二类的失业者最后也决定开始摆烂，所以所有第二类失业者最终也成为了第三类。

理解2：

假如一个社区有很多个成员。每个时刻你都会有相应的关注者。有些人是你的忠实粉丝，一旦关注了永不取关，这些人的集合就是下限集lim inf，也就是说你最惨的时候起码有这么多人关注你，是你的铁粉。还有些人摇摆不定，在漫长的岁月里，有时关注你，有时又取关了，关注，取关就这样来来回回，直到永远，这些人应该算进你的上限集lim sup里。也就是说，你的最好的时候能够有这么多的粉丝，这是你的高光时刻。当然基本盘也应该算进上限集里。然而还有一些人一旦取关，就永不回头，不再关注你了，这些当然应该不能算进你的上限集里。

所以简单的说，下限集就是你的基本盘，上限集就是基本盘并上摇摆者。

3.例子

例：

参考文献：

liminf limsup是什么意思极限多个上下界不懂谁能解释一下【数学吧】_百度贴吧

如何直观理解集合的极限limsup/liminf? - 知乎

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